Página de selectividad

La página de Germán Rubio del ÍES Ayala, sigue con los problemas resueltos de matemáticas II y como novedad de las matemáticas aplicadas a las ciencias sociales desde el año 2009, mira los enlaces.

Volumen del tetraedro.

Dados los puntos A(1, 1, 1), B(0, −2, 2), C(−1, 0, 2) y D(2, −1, 2). (a) [1 punto] Calcula el volumen del tetraedro de vértices A, B, C y D. (b) [1’5 puntos] Determina la ecuación de la recta que pasa por D y es perpendicular al plano que contiene a los puntos A, B y C. Solución (a) A(1, 1, 1), B(0, −2, 2), C(−1, 0, 2) y D(2, −1, 2). Sabemos que el volumen de un prisma es 1/6 del volumen del paralelepípedo que determinan, el cual es el valor absoluto (lo notaremos | | ) del producto mixto (lo notaremos con corchetes) de tres vectores con un mismo origen, en nuestro caso utilizaremos los vectores AB, AC y AD. AB = (-1,-3,1), AC = (-2,-1,1) y AD = (1,-2,1) Volumen = (1/6).| [ AB, AC, AD ] | = (1/6).= (1/6).= (1/6).| 0-(-5)(-2+3) | = (1/6).| -5 | = 5/6 u^3. (b) Determinamos primero el plano que pasa por los puntos A, B y C. Tomo como punto el A(1,1,1) y como vectores independientes AB = (-1,-3,1) y AC = -2,-1,1) Plano p ABC = det(AX,AB,AC) = (x-1)(-2) – (y-1)(1) -5 (z-1) = 0 El plano es -2x-y-5z+8=0. La recta perpendicular al plano tiene como vector director, el vector normal del plano n = (-2,-1,-5) La recta pedida es, r: (x-2)/(-2) = (y+1)/(-1) = (z-2)/-5

Plano paralelo a una recta y contiene a otra..

[ 2’5 puntos] Halla la ecuación del plano que es paralelo a la recta "r" ≡ y contiene a la recta "s" definida por

Solución

Para un plano necesito un punto (el B) y dos vectores independientes (el u y el v), o bien un punto y un vector normal.

Como la recta "s" está contenida en el plano de ella tomo el punto B(1,-2,2) y el vector v = (-5,3,2).

Como la recta "r" es paralela al plano π, de ella tomo el otro vector u.

Al darme la recta "r" como intersección de dos planos un vector director es el producto vectorial de los vectores normales de cada plano, es decir u = n₁ x n₂ = = i(-2) – j(1) + k(2) =>u= (-2,-1,2).

Evidentemente los vectores u = (-2,-1,2) y v = (-5,3,2) son independientes al no ser proporcionales sus coordenadas.

El plano pedido en forma paramétrica es:

x = 1-2λ-5μ

x = -2-λ+3μ

x = 2+2λ+2μ,

con λ, μ números reales.

La ecuación del plano en forma general es =0= (x-1)(-8) – (y+2)(6) + (z-2)(-11) = -8x-6y-11z+18 = 0.

Primitiva que pasa por un punto.

Sea Ln(1 -x²) el logaritmo neperiano de 1 - x² y sea f : (-1,1) → R la función definida por f(x) = Ln(1 -x²). Calcula la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (0,1).

Solución

Como nos pide una primitiva de f(x) = Ln(1 -x²) tenemos que utilizar el método de integración por partes.

∫ udv = uv - ∫ vdu

Tomamos u = Ln(1 -x²) de donde du = (-2x)/(1 -x²)dx , dv = dx de donde v = ∫ dx = x

I = ∫ Ln(1 -x²) dx = x. Ln(1 -x²) - ∫ x.(-2x)/(1 -x²)dx = x. Ln|1 - x²| + ∫ (2 x²)/(1 -x²)dx = x.Ln|1- x²|+ 2.I₁

I₁ = ∫ (x²)/(1 - x²)dx es una integral de tipo racional y como el numerador no es de menor grado que el denominador tenemos que efectuar la división antes

x2	1 - x2
- x2 + 1	- 1
1

I₁ = ∫ (x²)/(1 - x²)dx = ∫ -1dx + ∫ 1/(1-x²) dx = -x + I₂

I₂ = ∫ (1)/(1 - x²) dx = ∫ 1/[(1 -x)(1+x)] dx = ∫ A/(1-x) dx + ∫ B/(1+x) dx = A.Ln|1- x| + B.Ln|1+x|. Calculemos los coeficientes A y B

1/[(1 -x)(1+x)] = A/(1- x) + B/(1+x) = [A(1 +x) + B(1-x)] /[(1-x)(1+x)], de donde igualando los numeradores tenemos

1 = A(1 +x) + B(1 -x)

Tomando x = 1 resulta 1 = 2A de donde A = 1/2

Tomando x =- 1 resulta 1 = 2B de donde B = 1/2

Luego I₂ = A.Ln|1- x| + B.Ln|1+x| = 1/2.Ln|1- x| + 1/2.Ln|1+x|

Por tanto I₁ = -x + I₂ = -x + 1/2.Ln|1-x| + 1/2.Ln|1+x|

Y la original es I = x.Ln|1 - x²| + 2. I₁ = x. Ln|1-x²| + 2.[ -x+(1/2).Ln|1-x| + (1/2).Ln|1+x| ]=

= x. Ln|1 - x| - 2x + Ln|1-x| + Ln|1+x| + K

Una primitiva es f(x) = x. Ln|1 -x²| - 2x + Ln|1-x| + Ln|1+x| + K

Como piden la primitiva que pasa por (0,1) tenemos que f(0) = 1 es decir

1 = 0 - 0 + 0 + 0 + K, luego K = 1 y la primitiva pedida es

f(x) =x.Ln|1-x²| - 2x + Ln|1-x| + Ln|1+x|+1

Ecuaciones Matriciales

Se llama ecuación matricial a una ecuación en la que los términos son matrices, tenemos que tener en cuenta que el producto de matrices no es conmutativo y debemos de elegir si multiplicamos por la derecha o por la izquierda, además las matrices deben ser regulares (exista la inversa), con estas condiciones:
AX=B =>

A^-1AX=A^-1B =>IX=A^-1B=>X= A^-1B

AX+BX=C => (A+B)X=C => X=(A+B)^-1 C

De esta forma vamos resolviendo multiplicando por las inversas y lados adecuados.

Sumas superiores e inferiores

http://www.geogebra.org/en/upload/files/spanish/fcj2011/sriemann.html

Pincha en el enlace o la imagen y experimenta.

Integral definida con cambio de variable.

Ejercicio 2 de selectividad de Junio de 2010

Calcular la integral definida

Sugerencia:

Efectúa el cambio √(x) = t.

Solución

Calculamos primero la integral indefinida

∫sen(√(x))dx = { cambio √(x) = t; x = t² y dx = 2tdt } = ∫sen(t).2tdt = 2. ∫t.sen(t)dt = 2.I, donde I es una integral por partes (∫u.dv = u.v - ∫v.du)

I=∫t.sen(t)dt = { u = t y dv = sen(t)dt, de donde du = dt y v = ∫sen(t)dt = -cos(t) } =

= -t.cos(t) - ∫-cos(t)dt = -t.cos(t) + sen(t)

Luego

∫sen(√(x))dx = 2. I = 2.[-t.cos(t) + sen(t)] + K={quito cambio √(x)= t } =

= 2.[ -(√(x)).cos(√(x)) + sen(√(x))] + K

Calculamos ya la integral original

= 2.[ ( -√π².cos(√(π²)) + sen(√(π²) ) - (-(√(0)).cos(√(0)) + sen(√(0) ) ] =

= 2.[ ( (-π)(-1) + 0 ) – ( 0+0 ) ] = 2π

Haciendo la integral definida directamente cambiando los limites de integración.