Volumen del tetraedro.

Dados los puntos A(1, 1, 1), B(0, −2, 2), C(−1, 0, 2) y D(2, −1, 2). (a) [1 punto] Calcula el volumen del tetraedro de vértices A, B, C y D. (b) [1’5 puntos] Determina la ecuación de la recta que pasa por D y es perpendicular al plano que contiene a los puntos A, B y C. Solución (a) A(1, 1, 1), B(0, −2, 2), C(−1, 0, 2) y D(2, −1, 2). Sabemos que el volumen de un prisma es 1/6 del volumen del paralelepípedo que determinan, el cual es el valor absoluto (lo notaremos | | ) del producto mixto (lo notaremos con corchetes) de tres vectores con un mismo origen, en nuestro caso utilizaremos los vectores AB, AC y AD. AB = (-1,-3,1), AC = (-2,-1,1) y AD = (1,-2,1) Volumen = (1/6).| [ AB, AC, AD ] | = (1/6).= (1/6).= (1/6).| 0-(-5)(-2+3) | = (1/6).| -5 | = 5/6 u^3. (b) Determinamos primero el plano que pasa por los puntos A, B y C. Tomo como punto el A(1,1,1) y como vectores independientes AB = (-1,-3,1) y AC = -2,-1,1) Plano p ABC = det(AX,AB,AC) = (x-1)(-2) – (y-1)(1) -5 (z-1) = 0 El plano es -2x-y-5z+8=0. La recta perpendicular al plano tiene como vector director, el vector normal del plano n = (-2,-1,-5) La recta pedida es, r: (x-2)/(-2) = (y+1)/(-1) = (z-2)/-5