Primitiva que pasa por un punto.

Sea Ln(1 -x²) el logaritmo neperiano de 1 - x² y sea f : (-1,1) → R la función definida por f(x) = Ln(1 -x²). Calcula la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (0,1).

Solución

Como nos pide una primitiva de f(x) = Ln(1 -x²) tenemos que utilizar el método de integración por partes.

∫ udv = uv - ∫ vdu

Tomamos u = Ln(1 -x²) de donde du = (-2x)/(1 -x²)dx , dv = dx de donde v = ∫ dx = x

I = ∫ Ln(1 -x²) dx = x. Ln(1 -x²) - ∫ x.(-2x)/(1 -x²)dx = x. Ln|1 - x²| + ∫ (2 x²)/(1 -x²)dx = x.Ln|1- x²|+ 2.I₁

I₁ = ∫ (x²)/(1 - x²)dx es una integral de tipo racional y como el numerador no es de menor grado que el denominador tenemos que efectuar la división antes

x2	1 - x2
- x2 + 1	- 1
1

I₁ = ∫ (x²)/(1 - x²)dx = ∫ -1dx + ∫ 1/(1-x²) dx = -x + I₂

I₂ = ∫ (1)/(1 - x²) dx = ∫ 1/[(1 -x)(1+x)] dx = ∫ A/(1-x) dx + ∫ B/(1+x) dx = A.Ln|1- x| + B.Ln|1+x|. Calculemos los coeficientes A y B

1/[(1 -x)(1+x)] = A/(1- x) + B/(1+x) = [A(1 +x) + B(1-x)] /[(1-x)(1+x)], de donde igualando los numeradores tenemos

1 = A(1 +x) + B(1 -x)

Tomando x = 1 resulta 1 = 2A de donde A = 1/2

Tomando x =- 1 resulta 1 = 2B de donde B = 1/2

Luego I₂ = A.Ln|1- x| + B.Ln|1+x| = 1/2.Ln|1- x| + 1/2.Ln|1+x|

Por tanto I₁ = -x + I₂ = -x + 1/2.Ln|1-x| + 1/2.Ln|1+x|

Y la original es I = x.Ln|1 - x²| + 2. I₁ = x. Ln|1-x²| + 2.[ -x+(1/2).Ln|1-x| + (1/2).Ln|1+x| ]=

= x. Ln|1 - x| - 2x + Ln|1-x| + Ln|1+x| + K

Una primitiva es f(x) = x. Ln|1 -x²| - 2x + Ln|1-x| + Ln|1+x| + K

Como piden la primitiva que pasa por (0,1) tenemos que f(0) = 1 es decir

1 = 0 - 0 + 0 + 0 + K, luego K = 1 y la primitiva pedida es

f(x) =x.Ln|1-x²| - 2x + Ln|1-x| + Ln|1+x|+1