Ejercicio 2 de selectividad de Junio de 2010
Calcular la integral definida
Sugerencia:
Efectúa el cambio √(x) = t.
Solución
Calculamos primero la integral indefinida
∫sen(√(x))dx = { cambio √(x) = t; x = t2 y dx = 2tdt } = ∫sen(t).2tdt = 2. ∫t.sen(t)dt = 2.I, donde I es una integral por partes (∫u.dv = u.v - ∫v.du)
I=∫t.sen(t)dt = { u = t y dv = sen(t)dt, de donde du = dt y v = ∫sen(t)dt = -cos(t) } =
= -t.cos(t) - ∫-cos(t)dt = -t.cos(t) + sen(t)
Luego
∫sen(√(x))dx = 2. I = 2.[-t.cos(t) + sen(t)] + K={quito cambio √(x)= t } =
= 2.[ -(√(x)).cos(√(x)) + sen(√(x))] + K
Calculamos ya la integral original
= 2.[ ( -√π2.cos(√(π2)) + sen(√(π2) ) - (-(√(0)).cos(√(0)) + sen(√(0) ) ] =
= 2.[ ( (-π)(-1) + 0 ) – ( 0+0 ) ] = 2π
Haciendo la integral definida directamente cambiando los limites de integración.
