Volumen del tetraedro.

Dados los puntos A(1, 1, 1), B(0, −2, 2), C(−1, 0, 2) y D(2, −1, 2). (a) [1 punto] Calcula el volumen del tetraedro de vértices A, B, C y D. (b) [1’5 puntos] Determina la ecuación de la recta que pasa por D y es perpendicular al plano que contiene a los puntos A, B y C. Solución (a) A(1, 1, 1), B(0, −2, 2), C(−1, 0, 2) y D(2, −1, 2). Sabemos que el volumen de un prisma es 1/6 del volumen del paralelepípedo que determinan, el cual es el valor absoluto (lo notaremos | | ) del producto mixto (lo notaremos con corchetes) de tres vectores con un mismo origen, en nuestro caso utilizaremos los vectores AB, AC y AD. AB = (-1,-3,1), AC = (-2,-1,1) y AD = (1,-2,1) Volumen = (1/6).| [ AB, AC, AD ] | = (1/6).= (1/6).= (1/6).| 0-(-5)(-2+3) | = (1/6).| -5 | = 5/6 u^3. (b) Determinamos primero el plano que pasa por los puntos A, B y C. Tomo como punto el A(1,1,1) y como vectores independientes AB = (-1,-3,1) y AC = -2,-1,1) Plano p ABC = det(AX,AB,AC) = (x-1)(-2) – (y-1)(1) -5 (z-1) = 0 El plano es -2x-y-5z+8=0. La recta perpendicular al plano tiene como vector director, el vector normal del plano n = (-2,-1,-5) La recta pedida es, r: (x-2)/(-2) = (y+1)/(-1) = (z-2)/-5

Plano paralelo a una recta y contiene a otra..

[ 2’5 puntos] Halla la ecuación del plano que es paralelo a la recta "r" ≡ y contiene a la recta "s" definida por

Solución

Para un plano necesito un punto (el B) y dos vectores independientes (el u y el v), o bien un punto y un vector normal.

Como la recta "s" está contenida en el plano de ella tomo el punto B(1,-2,2) y el vector v = (-5,3,2).

Como la recta "r" es paralela al plano π, de ella tomo el otro vector u.

Al darme la recta "r" como intersección de dos planos un vector director es el producto vectorial de los vectores normales de cada plano, es decir u = n₁ x n₂ = = i(-2) – j(1) + k(2) =>u= (-2,-1,2).

Evidentemente los vectores u = (-2,-1,2) y v = (-5,3,2) son independientes al no ser proporcionales sus coordenadas.

El plano pedido en forma paramétrica es:

x = 1-2λ-5μ

x = -2-λ+3μ

x = 2+2λ+2μ,

con λ, μ números reales.

La ecuación del plano en forma general es =0= (x-1)(-8) – (y+2)(6) + (z-2)(-11) = -8x-6y-11z+18 = 0.

Primitiva que pasa por un punto.

Sea Ln(1 -x²) el logaritmo neperiano de 1 - x² y sea f : (-1,1) → R la función definida por f(x) = Ln(1 -x²). Calcula la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (0,1).

Solución

Como nos pide una primitiva de f(x) = Ln(1 -x²) tenemos que utilizar el método de integración por partes.

∫ udv = uv - ∫ vdu

Tomamos u = Ln(1 -x²) de donde du = (-2x)/(1 -x²)dx , dv = dx de donde v = ∫ dx = x

I = ∫ Ln(1 -x²) dx = x. Ln(1 -x²) - ∫ x.(-2x)/(1 -x²)dx = x. Ln|1 - x²| + ∫ (2 x²)/(1 -x²)dx = x.Ln|1- x²|+ 2.I₁

I₁ = ∫ (x²)/(1 - x²)dx es una integral de tipo racional y como el numerador no es de menor grado que el denominador tenemos que efectuar la división antes

x2	1 - x2
- x2 + 1	- 1
1

I₁ = ∫ (x²)/(1 - x²)dx = ∫ -1dx + ∫ 1/(1-x²) dx = -x + I₂

I₂ = ∫ (1)/(1 - x²) dx = ∫ 1/[(1 -x)(1+x)] dx = ∫ A/(1-x) dx + ∫ B/(1+x) dx = A.Ln|1- x| + B.Ln|1+x|. Calculemos los coeficientes A y B

1/[(1 -x)(1+x)] = A/(1- x) + B/(1+x) = [A(1 +x) + B(1-x)] /[(1-x)(1+x)], de donde igualando los numeradores tenemos

1 = A(1 +x) + B(1 -x)

Tomando x = 1 resulta 1 = 2A de donde A = 1/2

Tomando x =- 1 resulta 1 = 2B de donde B = 1/2

Luego I₂ = A.Ln|1- x| + B.Ln|1+x| = 1/2.Ln|1- x| + 1/2.Ln|1+x|

Por tanto I₁ = -x + I₂ = -x + 1/2.Ln|1-x| + 1/2.Ln|1+x|

Y la original es I = x.Ln|1 - x²| + 2. I₁ = x. Ln|1-x²| + 2.[ -x+(1/2).Ln|1-x| + (1/2).Ln|1+x| ]=

= x. Ln|1 - x| - 2x + Ln|1-x| + Ln|1+x| + K

Una primitiva es f(x) = x. Ln|1 -x²| - 2x + Ln|1-x| + Ln|1+x| + K

Como piden la primitiva que pasa por (0,1) tenemos que f(0) = 1 es decir

1 = 0 - 0 + 0 + 0 + K, luego K = 1 y la primitiva pedida es

f(x) =x.Ln|1-x²| - 2x + Ln|1-x| + Ln|1+x|+1

Ecuaciones Matriciales

Se llama ecuación matricial a una ecuación en la que los términos son matrices, tenemos que tener en cuenta que el producto de matrices no es conmutativo y debemos de elegir si multiplicamos por la derecha o por la izquierda, además las matrices deben ser regulares (exista la inversa), con estas condiciones:
AX=B =>

A^-1AX=A^-1B =>IX=A^-1B=>X= A^-1B

AX+BX=C => (A+B)X=C => X=(A+B)^-1 C

De esta forma vamos resolviendo multiplicando por las inversas y lados adecuados.

Sumas superiores e inferiores

http://www.geogebra.org/en/upload/files/spanish/fcj2011/sriemann.html

Pincha en el enlace o la imagen y experimenta.

Integral definida con cambio de variable.

Ejercicio 2 de selectividad de Junio de 2010

Calcular la integral definida

Sugerencia:

Efectúa el cambio √(x) = t.

Solución

Calculamos primero la integral indefinida

∫sen(√(x))dx = { cambio √(x) = t; x = t² y dx = 2tdt } = ∫sen(t).2tdt = 2. ∫t.sen(t)dt = 2.I, donde I es una integral por partes (∫u.dv = u.v - ∫v.du)

I=∫t.sen(t)dt = { u = t y dv = sen(t)dt, de donde du = dt y v = ∫sen(t)dt = -cos(t) } =

= -t.cos(t) - ∫-cos(t)dt = -t.cos(t) + sen(t)

Luego

∫sen(√(x))dx = 2. I = 2.[-t.cos(t) + sen(t)] + K={quito cambio √(x)= t } =

= 2.[ -(√(x)).cos(√(x)) + sen(√(x))] + K

Calculamos ya la integral original

= 2.[ ( -√π².cos(√(π²)) + sen(√(π²) ) - (-(√(0)).cos(√(0)) + sen(√(0) ) ] =

= 2.[ ( (-π)(-1) + 0 ) – ( 0+0 ) ] = 2π

Haciendo la integral definida directamente cambiando los limites de integración.

Ejercicio de derivabilidad en el examen último

Considera la función f:[0,4] → R definida por f(x) =

(a) Sabiendo que f es derivable en todo el dominio y que verifica f(0) = f(4), determina los valores de a, b y c.

(b) Para a = -3, b = 4 y c = 1 halla los extremos absolutos de f( abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Solución

(a) Si es f derivable también es continua, por tanto f es continua y derivable en x = 2, pues como la función tiene en cada rama un polinomio y ahí no hay problemas (derivables en todos los puntos).

las condiciónes las sacamos de la continuidad y derivabilidad en 2 y de la igualdad en los extremos que nos da el enunciado. Como f debe ser continua en x = 2 tenemos que:

f(2) = lim _x→2- [f(x)] = lim _x→2+ [f(x)]

f(2) = lim _{x→ 2-} [f(x)] = lim _{x→ 2-} [ x²+ax+b] = 4+2a+b (por izquierda)

lim _{x→ 2+} [f(x)] = lim _{x→ 2+} [cx] = 2c (por la derecha)

Igualando tenemos 4+2a+b = 2c.

f’(x) =

Igualmente como f debe ser derivable en x = 2 tenemos que se debe cumplir:

f’(2 ^-) = f’(2 ⁺) lim _{x→ 2-} [f(x)] = lim _{x→ 2+} [f(x)]

Vamos a utilizar la continuidad de la derivada que es más rápido

f’(2 ^-) = lim _{x→ 2-} [f’(x)] = lim _{x→ 2-} [2x+a] = 4+a

f’(2 ⁺) lim _{x→ 2+} [f’(x)] = lim _{x→ 2+} [c] = c

Igualando tenemos 4+a = c.

De f(0) = f(4) tenemos:

f(0) = b, se mira en su rama correspondiente.

f(4) = 4c, se mira en su rama correspondiente.

Igualando tenemos b = 4c.

Resolvemos el sistema que nos ha salido:

4+2a+b = 2c

4+a = c

b = 4c

Sustituyendo la "c" de la 2ª ecuación en la 1ª y 3ª obtenemos:

b = 4(4+a) = 16 + 4a

2(4+a) = 4+2a+b, operando en esta ecuación obtenemos b = 4.

Con este valor entrando en b = 4c obtenemos c = 1.

Con los dos valores obtenidos entrando en 4 + a = c, obtenemos a = -3.

(b) Para este apartado usamos el Teorema de Weierstrass dice : "si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado (en nuestro caso [0,4] ), dicha función alcanza sus extremos absolutos en dicho intervalo. Por ptro lado sabemos que los extremos absolutos de una función se suelen alcanzar en:

1.- Puntos "x" donde f no es continua ni derivable. (No es nuestro caso)

2.- Los extremos del intervalo, en nuestro caso x = 0 y x = 4.

3.- Las soluciones de f’(x) = 0 .

Como f(x) = y la derivada f’(x) =

En nuestro caso de f’(x) = 0, tenemos 2x-3 = 0, de donde x = 3/2 = 1’5 que pertenece a [0,4].

Los puntos candidatos son x = 0, x = 1’5 y x = 4. Por supuesto cada uno en su rama.

f(0) = 4

f(4) = 4

f(1’5) = (1’5)² – 3(1’5) + 4 = 1’75.

Por tanto f alcanza su máximo absoluto en x = 0 y x = 4 y vale 4. Y f alcanza su mínimo absoluto en x = 3/2 = 1’5 y vale 1’75.

Integral

1.- Halla una primitiva F de la función f : (0, + ∞) → R definida por f(x) = 4/[x(x+2)]

2.- Calcula ∫³₁ f(x)dx.

3.- Describe qué relación hay entre la primitiva F calculada y la función G : (0, + ∞) → R definida por G(x) = ∫^x₁ f(t)dt.

Solución

1.-

Halla una primitiva F de la función f : (0, + ∞) → R definida por f(x) = 4/[x(x+2)]

F(x) = ∫ ( 4/[x(x+2)] )dx = ∫ ( A/x ) )dx + ∫ ( B/(x+2) )dx = ALn|x| + BLn|x+2| + K

Vamos a calcular las constantes A y B

4 / [x(x+2)] = ( A/x ) + B/(x+2) = [ A(x+2) + B(x)] / [x(x+2)], igualando numeradores

4 = A(x+2) + B(x)

Para x = 0, tenemos 4 = 2A, de donde A = 2

Para x = -2, tenemos 4 = -2B, de donde B = -2, una primitiva pedida es

F(x) = 2Ln|x| - 2Ln|x+2|

2.-

Calcula ∫³₁ f(x)dx = [ 2Ln|x| - 2Ln|x+2| ]³₁ = ( 2Ln(3) - 2Ln(5) ) – ( 2Ln(1) - 2Ln(3) ) =

= 4Ln(2) – 2Ln(5)

3.-

Describe qué relación hay entre la primitiva F calculada y la función

G : (0, +∞) -> R definida por G(x) = ∫^x₁ f(t)dt.

Sabemos que dos primitivas se diferencian en una constante, por tanto:

G(x) = ∫^x₁ f(t)dt = [ F(t) ]^x₁ = F(x) – F(1).