Ejercicio de derivabilidad en el examen último

Considera la función f:[0,4] → R definida por f(x) =

(a) Sabiendo que f es derivable en todo el dominio y que verifica f(0) = f(4), determina los valores de a, b y c.

(b) Para a = -3, b = 4 y c = 1 halla los extremos absolutos de f( abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Solución

(a) Si es f derivable también es continua, por tanto f es continua y derivable en x = 2, pues como la función tiene en cada rama un polinomio y ahí no hay problemas (derivables en todos los puntos).

las condiciónes las sacamos de la continuidad y derivabilidad en 2 y de la igualdad en los extremos que nos da el enunciado. Como f debe ser continua en x = 2 tenemos que:

f(2) = lim _x→2- [f(x)] = lim _x→2+ [f(x)]

f(2) = lim _{x→ 2-} [f(x)] = lim _{x→ 2-} [ x²+ax+b] = 4+2a+b (por izquierda)

lim _{x→ 2+} [f(x)] = lim _{x→ 2+} [cx] = 2c (por la derecha)

Igualando tenemos 4+2a+b = 2c.

f’(x) =

Igualmente como f debe ser derivable en x = 2 tenemos que se debe cumplir:

f’(2 ^-) = f’(2 ⁺) lim _{x→ 2-} [f(x)] = lim _{x→ 2+} [f(x)]

Vamos a utilizar la continuidad de la derivada que es más rápido

f’(2 ^-) = lim _{x→ 2-} [f’(x)] = lim _{x→ 2-} [2x+a] = 4+a

f’(2 ⁺) lim _{x→ 2+} [f’(x)] = lim _{x→ 2+} [c] = c

Igualando tenemos 4+a = c.

De f(0) = f(4) tenemos:

f(0) = b, se mira en su rama correspondiente.

f(4) = 4c, se mira en su rama correspondiente.

Igualando tenemos b = 4c.

Resolvemos el sistema que nos ha salido:

4+2a+b = 2c

4+a = c

b = 4c

Sustituyendo la "c" de la 2ª ecuación en la 1ª y 3ª obtenemos:

b = 4(4+a) = 16 + 4a

2(4+a) = 4+2a+b, operando en esta ecuación obtenemos b = 4.

Con este valor entrando en b = 4c obtenemos c = 1.

Con los dos valores obtenidos entrando en 4 + a = c, obtenemos a = -3.

(b) Para este apartado usamos el Teorema de Weierstrass dice : "si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado (en nuestro caso [0,4] ), dicha función alcanza sus extremos absolutos en dicho intervalo. Por ptro lado sabemos que los extremos absolutos de una función se suelen alcanzar en:

1.- Puntos "x" donde f no es continua ni derivable. (No es nuestro caso)

2.- Los extremos del intervalo, en nuestro caso x = 0 y x = 4.

3.- Las soluciones de f’(x) = 0 .

Como f(x) = y la derivada f’(x) =

En nuestro caso de f’(x) = 0, tenemos 2x-3 = 0, de donde x = 3/2 = 1’5 que pertenece a [0,4].

Los puntos candidatos son x = 0, x = 1’5 y x = 4. Por supuesto cada uno en su rama.

f(0) = 4

f(4) = 4

f(1’5) = (1’5)² – 3(1’5) + 4 = 1’75.

Por tanto f alcanza su máximo absoluto en x = 0 y x = 4 y vale 4. Y f alcanza su mínimo absoluto en x = 3/2 = 1’5 y vale 1’75.