Ecuaciones Matriciales

Se llama ecuación matricial a una ecuación en la que los términos son matrices, tenemos que tener en cuenta que el producto de matrices no es conmutativo y debemos de elegir si multiplicamos por la derecha o por la izquierda, además las matrices deben ser regulares (exista la inversa), con estas condiciones:
AX=B =>

A^-1AX=A^-1B =>IX=A^-1B=>X= A^-1B

AX+BX=C => (A+B)X=C => X=(A+B)^-1 C

De esta forma vamos resolviendo multiplicando por las inversas y lados adecuados.

Sumas superiores e inferiores

http://www.geogebra.org/en/upload/files/spanish/fcj2011/sriemann.html

Pincha en el enlace o la imagen y experimenta.

Integral definida con cambio de variable.

Ejercicio 2 de selectividad de Junio de 2010

Calcular la integral definida

Sugerencia:

Efectúa el cambio √(x) = t.

Solución

Calculamos primero la integral indefinida

∫sen(√(x))dx = { cambio √(x) = t; x = t² y dx = 2tdt } = ∫sen(t).2tdt = 2. ∫t.sen(t)dt = 2.I, donde I es una integral por partes (∫u.dv = u.v - ∫v.du)

I=∫t.sen(t)dt = { u = t y dv = sen(t)dt, de donde du = dt y v = ∫sen(t)dt = -cos(t) } =

= -t.cos(t) - ∫-cos(t)dt = -t.cos(t) + sen(t)

Luego

∫sen(√(x))dx = 2. I = 2.[-t.cos(t) + sen(t)] + K={quito cambio √(x)= t } =

= 2.[ -(√(x)).cos(√(x)) + sen(√(x))] + K

Calculamos ya la integral original

= 2.[ ( -√π².cos(√(π²)) + sen(√(π²) ) - (-(√(0)).cos(√(0)) + sen(√(0) ) ] =

= 2.[ ( (-π)(-1) + 0 ) – ( 0+0 ) ] = 2π

Haciendo la integral definida directamente cambiando los limites de integración.

Ejercicio de derivabilidad en el examen último

Considera la función f:[0,4] → R definida por f(x) =

(a) Sabiendo que f es derivable en todo el dominio y que verifica f(0) = f(4), determina los valores de a, b y c.

(b) Para a = -3, b = 4 y c = 1 halla los extremos absolutos de f( abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Solución

(a) Si es f derivable también es continua, por tanto f es continua y derivable en x = 2, pues como la función tiene en cada rama un polinomio y ahí no hay problemas (derivables en todos los puntos).

las condiciónes las sacamos de la continuidad y derivabilidad en 2 y de la igualdad en los extremos que nos da el enunciado. Como f debe ser continua en x = 2 tenemos que:

f(2) = lim _x→2- [f(x)] = lim _x→2+ [f(x)]

f(2) = lim _{x→ 2-} [f(x)] = lim _{x→ 2-} [ x²+ax+b] = 4+2a+b (por izquierda)

lim _{x→ 2+} [f(x)] = lim _{x→ 2+} [cx] = 2c (por la derecha)

Igualando tenemos 4+2a+b = 2c.

f’(x) =

Igualmente como f debe ser derivable en x = 2 tenemos que se debe cumplir:

f’(2 ^-) = f’(2 ⁺) lim _{x→ 2-} [f(x)] = lim _{x→ 2+} [f(x)]

Vamos a utilizar la continuidad de la derivada que es más rápido

f’(2 ^-) = lim _{x→ 2-} [f’(x)] = lim _{x→ 2-} [2x+a] = 4+a

f’(2 ⁺) lim _{x→ 2+} [f’(x)] = lim _{x→ 2+} [c] = c

Igualando tenemos 4+a = c.

De f(0) = f(4) tenemos:

f(0) = b, se mira en su rama correspondiente.

f(4) = 4c, se mira en su rama correspondiente.

Igualando tenemos b = 4c.

Resolvemos el sistema que nos ha salido:

4+2a+b = 2c

4+a = c

b = 4c

Sustituyendo la "c" de la 2ª ecuación en la 1ª y 3ª obtenemos:

b = 4(4+a) = 16 + 4a

2(4+a) = 4+2a+b, operando en esta ecuación obtenemos b = 4.

Con este valor entrando en b = 4c obtenemos c = 1.

Con los dos valores obtenidos entrando en 4 + a = c, obtenemos a = -3.

(b) Para este apartado usamos el Teorema de Weierstrass dice : "si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado (en nuestro caso [0,4] ), dicha función alcanza sus extremos absolutos en dicho intervalo. Por ptro lado sabemos que los extremos absolutos de una función se suelen alcanzar en:

1.- Puntos "x" donde f no es continua ni derivable. (No es nuestro caso)

2.- Los extremos del intervalo, en nuestro caso x = 0 y x = 4.

3.- Las soluciones de f’(x) = 0 .

Como f(x) = y la derivada f’(x) =

En nuestro caso de f’(x) = 0, tenemos 2x-3 = 0, de donde x = 3/2 = 1’5 que pertenece a [0,4].

Los puntos candidatos son x = 0, x = 1’5 y x = 4. Por supuesto cada uno en su rama.

f(0) = 4

f(4) = 4

f(1’5) = (1’5)² – 3(1’5) + 4 = 1’75.

Por tanto f alcanza su máximo absoluto en x = 0 y x = 4 y vale 4. Y f alcanza su mínimo absoluto en x = 3/2 = 1’5 y vale 1’75.

Integral

1.- Halla una primitiva F de la función f : (0, + ∞) → R definida por f(x) = 4/[x(x+2)]

2.- Calcula ∫³₁ f(x)dx.

3.- Describe qué relación hay entre la primitiva F calculada y la función G : (0, + ∞) → R definida por G(x) = ∫^x₁ f(t)dt.

Solución

1.-

Halla una primitiva F de la función f : (0, + ∞) → R definida por f(x) = 4/[x(x+2)]

F(x) = ∫ ( 4/[x(x+2)] )dx = ∫ ( A/x ) )dx + ∫ ( B/(x+2) )dx = ALn|x| + BLn|x+2| + K

Vamos a calcular las constantes A y B

4 / [x(x+2)] = ( A/x ) + B/(x+2) = [ A(x+2) + B(x)] / [x(x+2)], igualando numeradores

4 = A(x+2) + B(x)

Para x = 0, tenemos 4 = 2A, de donde A = 2

Para x = -2, tenemos 4 = -2B, de donde B = -2, una primitiva pedida es

F(x) = 2Ln|x| - 2Ln|x+2|

2.-

Calcula ∫³₁ f(x)dx = [ 2Ln|x| - 2Ln|x+2| ]³₁ = ( 2Ln(3) - 2Ln(5) ) – ( 2Ln(1) - 2Ln(3) ) =

= 4Ln(2) – 2Ln(5)

3.-

Describe qué relación hay entre la primitiva F calculada y la función

G : (0, +∞) -> R definida por G(x) = ∫^x₁ f(t)dt.

Sabemos que dos primitivas se diferencian en una constante, por tanto:

G(x) = ∫^x₁ f(t)dt = [ F(t) ]^x₁ = F(x) – F(1).

Tabla derivadas

Tablas de integrales