Tabla derivadas

Tablas de integrales

función racional par, con valor absoluto

Ejercicio de derivabilidad selectividad.

[2’5 puntos] Sea la función f : R → R dada por

Calcula las constantes a, b y c sabiendo que f es derivable y que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1 tiene pendiente 3.

Solución

Me dicen que f es derivable en R y que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1 tiene pendiente 3.

Como f es derivable en R, y sabemos que si es derivable también es continua, por tanto f es continua y derivable en R en especial en x = 0.

Como f es continua en x = 0 tenemos que:

f(0) = lim _{x →0-} [f(x)] = lim _x→0+ [f(x)]

f(0) = lim _x→0- [f(x)] = lim _x→0- [ e ^x.( x²+ax) ] = e ⁰.( 0+0) = 1.0 = 0

lim _x→0+ [f(x)] = lim _x→0+ [ (bx² + c)/(x + 1) ] = (0+ c)/(0 + 1) = c

Igualando tenemos c = 0.

Como f es derivable en x = 0 tenemos que:

f’(0 ^-) = f’(0 ⁺)

Vamos a utilizar la continuidad de la derivada que es más rápido

f’(0 ^-) = lim _x→0- [f’(x)] = lim _x→0- [e ^x. ( x²+ax) + e ^x.(2x²+a)] = e ⁰.( 0) + e ⁰.(0+a) = a

f’(0 ⁺) = lim _x→0+ [f’(x)] = lim _x→0+ [ ( 2bx(x+1) –bx² ) / (x+1)² ] = ( 0(1) – 0 ) / (1)² = 0

Igualando tenemos a = 0.

Sabemos que la pendiente de la recta tangente en x = 1 es f’(1), y me dicen que vale 3.

Como x=1 es mayor que 0 utilizamos la expresión f’(x) = ( 2bx(x+1) –bx² ) / (x+1)², por tanto tenemos que

f’(1) = 3 = ( 2b(1+1) – b.1 )/(1+1)² = 3b/4. De 3b/4 = 3 tenemos b = 4. La solución es :

La gráfica de la función y su función derivada.

Para ver la gráfica a pantalla completa pincha sobre la imagen.

Función con infinitos puntos de inflexión.

La función f(x)=sen x -x tiene infinitos puntos de inflexión .....
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Problema optimización

Entre todos los triángulos rectángulos de 5 metros de hipotenusa, determina los catetos del de área máxima.

Solución

Función a maximizar A(x,y)=(xy)/2

Con la restricción entre las variables x² + y²=5² , de donde y = +√(25 – x²), tomamos sólo la solución positiva porque es una longitud.

Función a maximizar A(x) =(1/2) (x).( √(25 – x²))

Si A’(b) = 0 y A’’(b) < x =" b">

A’(x) = (√(25 – x²)) – (x²) / (√(25 – x²)). De A’(x) = 0, tenemos ( (√(25 – x²) )² = x², es decir 2x² = 25, de donde x = ± √(25/2), y como "x" es una longitud x = √(25/2) m.

Las medidas de los catetos son x = √(25/2) m. e y = (√(25 – ((√(25/2)²)) = √(25/2) m., es decir es un triángulo isósceles rectángulo.

Veamos que x = √(25/2) es un máximo, viendo que A’’(√(25/2)) <>

A’(x) = (√(25 – x²)) – (x²) / (√(25 – x²)).

A’’(x) = (-2x) /( (√(25 – x²)) – [ (2x. (√(25 – x²)) + x³ / (√(25 – x²)) ] / (25 – x²)

Sustituyendo "√(25/2)" por "x" en A’’(x) obtenemos A’’(√(25/2)) = 72/(3)³ = – 1 – [25.√(25/2) +25/2] / (25/2) <>

Representación de Funciones

Para ver la gráfica a pantalla completa pincha sobre la imagen.
La gráfica de una función f de Dominio en su Rec(f)y=f(x) se define como el conjunto de puntos (x, y) del plano cuando x esta en el dominio D.

grafo(f) = {(x, f(x)) / x en D}

Para representarla calcularemos aquellos puntos o intervalos donde la función tiene un comportamiento especial, que determinaremos mediante el estudio de los siguientes apartados:

1. Dominio de una función.Continuidad
2. Simetría.
3. Periodicidad.
4. Puntos de corte con los ejes.
5. Asíntotas.
6. Ramas parabólicas.
7. Crecimiento y Decrecimiento.
8. Máximos y mínimos.
9. Concavidad y convexidad.
10. Puntos de inflexión.