Problema optimización

Entre todos los triángulos rectángulos de 5 metros de hipotenusa, determina los catetos del de área máxima.

Solución

Función a maximizar A(x,y)=(xy)/2

Con la restricción entre las variables x² + y²=5² , de donde y = +√(25 – x²), tomamos sólo la solución positiva porque es una longitud.

Función a maximizar A(x) =(1/2) (x).( √(25 – x²))

Si A’(b) = 0 y A’’(b) < x =" b">

A’(x) = (√(25 – x²)) – (x²) / (√(25 – x²)). De A’(x) = 0, tenemos ( (√(25 – x²) )² = x², es decir 2x² = 25, de donde x = ± √(25/2), y como "x" es una longitud x = √(25/2) m.

Las medidas de los catetos son x = √(25/2) m. e y = (√(25 – ((√(25/2)²)) = √(25/2) m., es decir es un triángulo isósceles rectángulo.

Veamos que x = √(25/2) es un máximo, viendo que A’’(√(25/2)) <>

A’(x) = (√(25 – x²)) – (x²) / (√(25 – x²)).

A’’(x) = (-2x) /( (√(25 – x²)) – [ (2x. (√(25 – x²)) + x³ / (√(25 – x²)) ] / (25 – x²)

Sustituyendo "√(25/2)" por "x" en A’’(x) obtenemos A’’(√(25/2)) = 72/(3)³ = – 1 – [25.√(25/2) +25/2] / (25/2) <>