Ejercicio de derivabilidad selectividad.

[2’5 puntos] Sea la función f : R → R dada por

Calcula las constantes a, b y c sabiendo que f es derivable y que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1 tiene pendiente 3.

Solución

Me dicen que f es derivable en R y que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1 tiene pendiente 3.

Como f es derivable en R, y sabemos que si es derivable también es continua, por tanto f es continua y derivable en R en especial en x = 0.

Como f es continua en x = 0 tenemos que:

f(0) = lim _{x →0-} [f(x)] = lim _x→0+ [f(x)]

f(0) = lim _x→0- [f(x)] = lim _x→0- [ e ^x.( x²+ax) ] = e ⁰.( 0+0) = 1.0 = 0

lim _x→0+ [f(x)] = lim _x→0+ [ (bx² + c)/(x + 1) ] = (0+ c)/(0 + 1) = c

Igualando tenemos c = 0.

Como f es derivable en x = 0 tenemos que:

f’(0 ^-) = f’(0 ⁺)

Vamos a utilizar la continuidad de la derivada que es más rápido

f’(0 ^-) = lim _x→0- [f’(x)] = lim _x→0- [e ^x. ( x²+ax) + e ^x.(2x²+a)] = e ⁰.( 0) + e ⁰.(0+a) = a

f’(0 ⁺) = lim _x→0+ [f’(x)] = lim _x→0+ [ ( 2bx(x+1) –bx² ) / (x+1)² ] = ( 0(1) – 0 ) / (1)² = 0

Igualando tenemos a = 0.

Sabemos que la pendiente de la recta tangente en x = 1 es f’(1), y me dicen que vale 3.

Como x=1 es mayor que 0 utilizamos la expresión f’(x) = ( 2bx(x+1) –bx² ) / (x+1)², por tanto tenemos que

f’(1) = 3 = ( 2b(1+1) – b.1 )/(1+1)² = 3b/4. De 3b/4 = 3 tenemos b = 4. La solución es :