Función con infinitos puntos de inflexión.

La función f(x)=sen x -x tiene infinitos puntos de inflexión .....
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Problema optimización

Entre todos los triángulos rectángulos de 5 metros de hipotenusa, determina los catetos del de área máxima.

Solución

Función a maximizar A(x,y)=(xy)/2

Con la restricción entre las variables x² + y²=5² , de donde y = +√(25 – x²), tomamos sólo la solución positiva porque es una longitud.

Función a maximizar A(x) =(1/2) (x).( √(25 – x²))

Si A’(b) = 0 y A’’(b) < x =" b">

A’(x) = (√(25 – x²)) – (x²) / (√(25 – x²)). De A’(x) = 0, tenemos ( (√(25 – x²) )² = x², es decir 2x² = 25, de donde x = ± √(25/2), y como "x" es una longitud x = √(25/2) m.

Las medidas de los catetos son x = √(25/2) m. e y = (√(25 – ((√(25/2)²)) = √(25/2) m., es decir es un triángulo isósceles rectángulo.

Veamos que x = √(25/2) es un máximo, viendo que A’’(√(25/2)) <>

A’(x) = (√(25 – x²)) – (x²) / (√(25 – x²)).

A’’(x) = (-2x) /( (√(25 – x²)) – [ (2x. (√(25 – x²)) + x³ / (√(25 – x²)) ] / (25 – x²)

Sustituyendo "√(25/2)" por "x" en A’’(x) obtenemos A’’(√(25/2)) = 72/(3)³ = – 1 – [25.√(25/2) +25/2] / (25/2) <>

Representación de Funciones

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La gráfica de una función f de Dominio en su Rec(f)y=f(x) se define como el conjunto de puntos (x, y) del plano cuando x esta en el dominio D.

grafo(f) = {(x, f(x)) / x en D}

Para representarla calcularemos aquellos puntos o intervalos donde la función tiene un comportamiento especial, que determinaremos mediante el estudio de los siguientes apartados:

1. Dominio de una función.Continuidad
2. Simetría.
3. Periodicidad.
4. Puntos de corte con los ejes.
5. Asíntotas.
6. Ramas parabólicas.
7. Crecimiento y Decrecimiento.
8. Máximos y mínimos.
9. Concavidad y convexidad.
10. Puntos de inflexión.