Selectividad 2014.
Ejercicio 1.- Sea f : R → R definida porf(x) = x³+ ax²+ bx + c.
a) [1’75 puntos] Halla a, b y c para que la gráfica de f tenga tiene un punto de inflexión 
de abscisa x = 1/2 y que la recta tangente en el punto de abscisa x = 0 tenga de 
ecuación y = 5 – 6x. 
a) [0’75 puntos] Para a = 3, b = -9 y c = 8, calcula los extremos relativos de f (abscisas 
donde se obtienen y valores que alcanzan). 
Ejercicio 2.- Sean f : R ----> R y g : R ----> R las funciones definidas respectivamente por f(x) = |x|/2 y g(x) = 1/(1 + x²).
a) [1 puntos] Esboza las gráficas de f y g sobre los mismos ejes y calcula los puntos 
de corte entre ambas gráficas. 

a) [1’5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y g. 

Ejercicio 3.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales, 
x + 2y - 3z = 3 
2x + 3y + z = 5 
a) [1’5 puntos] Calcula α de manera que al añadir una tercera ecuación de la forma 
αx + y – 7z = 1 el sistema resultante tenga las mismas soluciones que el original. 
b) [1 punto] Calcula las soluciones del sistema dado tales que la suma de los 
valores de las incógnitas sea 4. 
Ejercicio 4.- Considera la recta r que pasa por los puntos A(1,0,-1) y B(-1,1,0). 
(a) [1 punto] Halla la ecuación de la recta s paralela a r que pase por C(-2,3,2). 

(b) [1’5 puntos] Calcula la distancia entre r y s. 

Problemas Matrices.

1.-En una empresa de fabricación de móviles hay 3 categorías de empleados: A, B y C y se fabrican dos tipos de móviles: M y P. Diariamente cada empleado de la categoría A fabrica 4 móviles del tipo M y 3 del tipo P, mientras que cada uno de la categoría B fabrica 5 móviles del tipo M y 4 del tipo P, y cada uno de la categoría C fabrica 6 móviles del tipo M y 5 móviles del tipo P. Para fabricar cada móvil del tipo M se necesitan dos chips y 4 conexiones y para fabricar cada móvil del tipo P 4 chips y 6 conexiones.
a) Escriba una matriz X, 3x2, que describa el número de móviles de cada tipo y otra matriz Y, de orden 2, que exprese el número de chips y conexiones de cada tipo de móvil.
b) Realice el producto de matrices X∙Y e indique qué expresa dicho producto.

2.-Una fábrica produce dos tipos de productos, A y B, que distribuye a tres clientes. En el mes de enero el primer cliente compró 9 unidades de A y 5 de B, el segundo cliente 3 de A y 7 de B, y el tercer cliente 4 de A y 6 de B. En el mes de febrero el primer cliente y el segundo duplicaron las compras del mes anterior, y el tercer cliente compró de cada producto una unidad más de las que compró en enero. En marzo el primer cliente no compró nada, y el segundo y el tercero compraron lo mismo que en febrero. a) (0’75 puntos) Para cada mes construya la matriz de dimensión 3x2 correspondiente a las compras de ese mes. b) (0.5 puntos) Calcule la matriz de compras del trimestre. c) (1.25 puntos) Si los precios de los productos A y B son, respectivamente, 80 y 100 euros, calcule lo que factura la fábrica en el primer trimestre, por cada cliente y en total.
a) Sean C1, C2 y C3 los tres clientes y EN la matriz correspondiente a enero, FE a febrero y MA a marzo,La primera columna es del producto A y la segunda producto B.

b) La matriz T de compras del trimestre viene dada por la suma de las matrices de los 3 meses.

3.-Recuerda que |A B| =|A| |B| . Si |A| = 7, ¿cuál es el valor de los siguientes determinantes?

1. |A²|
2. |A^-1|
3. |I.A|
4. |3.A^-1.A|

Solución: a) 49 b) 1/7 c) 7 d) 3.

4.-Si |A|= 4 y |B|= 5, ¿cuál es el valor de los siguientes determinantes?

1. |A B|
2. |A^t.B|
3. |A^-1.B^-1|

Solución: a) 20, b) 20, c)1/20

MAT CCSS II

MATERIALES PARA 2º BACHILLERATO B. (MATEMÁTICAS APLICADAS CC.SS)

• Orientaciones y Programación.
• PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD.
• Exámenes de Selectividad resueltos POR TEMAS, Andalucía
  

Página de selectividad

La página de Germán Rubio del ÍES Ayala, sigue con los problemas resueltos de matemáticas II y como novedad de las matemáticas aplicadas a las ciencias sociales desde el año 2009, mira los enlaces.

Volumen del tetraedro.

Dados los puntos A(1, 1, 1), B(0, −2, 2), C(−1, 0, 2) y D(2, −1, 2). (a) [1 punto] Calcula el volumen del tetraedro de vértices A, B, C y D. (b) [1’5 puntos] Determina la ecuación de la recta que pasa por D y es perpendicular al plano que contiene a los puntos A, B y C. Solución (a) A(1, 1, 1), B(0, −2, 2), C(−1, 0, 2) y D(2, −1, 2). Sabemos que el volumen de un prisma es 1/6 del volumen del paralelepípedo que determinan, el cual es el valor absoluto (lo notaremos | | ) del producto mixto (lo notaremos con corchetes) de tres vectores con un mismo origen, en nuestro caso utilizaremos los vectores AB, AC y AD. AB = (-1,-3,1), AC = (-2,-1,1) y AD = (1,-2,1) Volumen = (1/6).| [ AB, AC, AD ] | = (1/6).= (1/6).= (1/6).| 0-(-5)(-2+3) | = (1/6).| -5 | = 5/6 u^3. (b) Determinamos primero el plano que pasa por los puntos A, B y C. Tomo como punto el A(1,1,1) y como vectores independientes AB = (-1,-3,1) y AC = -2,-1,1) Plano p ABC = det(AX,AB,AC) = (x-1)(-2) – (y-1)(1) -5 (z-1) = 0 El plano es -2x-y-5z+8=0. La recta perpendicular al plano tiene como vector director, el vector normal del plano n = (-2,-1,-5) La recta pedida es, r: (x-2)/(-2) = (y+1)/(-1) = (z-2)/-5

Plano paralelo a una recta y contiene a otra..

[ 2’5 puntos] Halla la ecuación del plano que es paralelo a la recta "r" ≡ y contiene a la recta "s" definida por

Solución

Para un plano necesito un punto (el B) y dos vectores independientes (el u y el v), o bien un punto y un vector normal.

Como la recta "s" está contenida en el plano de ella tomo el punto B(1,-2,2) y el vector v = (-5,3,2).

Como la recta "r" es paralela al plano π, de ella tomo el otro vector u.

Al darme la recta "r" como intersección de dos planos un vector director es el producto vectorial de los vectores normales de cada plano, es decir u = n₁ x n₂ = = i(-2) – j(1) + k(2) =>u= (-2,-1,2).

Evidentemente los vectores u = (-2,-1,2) y v = (-5,3,2) son independientes al no ser proporcionales sus coordenadas.

El plano pedido en forma paramétrica es:

x = 1-2λ-5μ

x = -2-λ+3μ

x = 2+2λ+2μ,

con λ, μ números reales.

La ecuación del plano en forma general es =0= (x-1)(-8) – (y+2)(6) + (z-2)(-11) = -8x-6y-11z+18 = 0.

Primitiva que pasa por un punto.

Sea Ln(1 -x²) el logaritmo neperiano de 1 - x² y sea f : (-1,1) → R la función definida por f(x) = Ln(1 -x²). Calcula la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (0,1).

Solución

Como nos pide una primitiva de f(x) = Ln(1 -x²) tenemos que utilizar el método de integración por partes.

∫ udv = uv - ∫ vdu

Tomamos u = Ln(1 -x²) de donde du = (-2x)/(1 -x²)dx , dv = dx de donde v = ∫ dx = x

I = ∫ Ln(1 -x²) dx = x. Ln(1 -x²) - ∫ x.(-2x)/(1 -x²)dx = x. Ln|1 - x²| + ∫ (2 x²)/(1 -x²)dx = x.Ln|1- x²|+ 2.I₁

I₁ = ∫ (x²)/(1 - x²)dx es una integral de tipo racional y como el numerador no es de menor grado que el denominador tenemos que efectuar la división antes

x2	1 - x2
- x2 + 1	- 1
1

I₁ = ∫ (x²)/(1 - x²)dx = ∫ -1dx + ∫ 1/(1-x²) dx = -x + I₂

I₂ = ∫ (1)/(1 - x²) dx = ∫ 1/[(1 -x)(1+x)] dx = ∫ A/(1-x) dx + ∫ B/(1+x) dx = A.Ln|1- x| + B.Ln|1+x|. Calculemos los coeficientes A y B

1/[(1 -x)(1+x)] = A/(1- x) + B/(1+x) = [A(1 +x) + B(1-x)] /[(1-x)(1+x)], de donde igualando los numeradores tenemos

1 = A(1 +x) + B(1 -x)

Tomando x = 1 resulta 1 = 2A de donde A = 1/2

Tomando x =- 1 resulta 1 = 2B de donde B = 1/2

Luego I₂ = A.Ln|1- x| + B.Ln|1+x| = 1/2.Ln|1- x| + 1/2.Ln|1+x|

Por tanto I₁ = -x + I₂ = -x + 1/2.Ln|1-x| + 1/2.Ln|1+x|

Y la original es I = x.Ln|1 - x²| + 2. I₁ = x. Ln|1-x²| + 2.[ -x+(1/2).Ln|1-x| + (1/2).Ln|1+x| ]=

= x. Ln|1 - x| - 2x + Ln|1-x| + Ln|1+x| + K

Una primitiva es f(x) = x. Ln|1 -x²| - 2x + Ln|1-x| + Ln|1+x| + K

Como piden la primitiva que pasa por (0,1) tenemos que f(0) = 1 es decir

1 = 0 - 0 + 0 + 0 + K, luego K = 1 y la primitiva pedida es

f(x) =x.Ln|1-x²| - 2x + Ln|1-x| + Ln|1+x|+1