Plano paralelo a una recta y contiene a otra..

[ 2’5 puntos] Halla la ecuación del plano que es paralelo a la recta "r" ≡ y contiene a la recta "s" definida por

Solución

Para un plano necesito un punto (el B) y dos vectores independientes (el u y el v), o bien un punto y un vector normal.

Como la recta "s" está contenida en el plano de ella tomo el punto B(1,-2,2) y el vector v = (-5,3,2).

Como la recta "r" es paralela al plano π, de ella tomo el otro vector u.

Al darme la recta "r" como intersección de dos planos un vector director es el producto vectorial de los vectores normales de cada plano, es decir u = n₁ x n₂ = = i(-2) – j(1) + k(2) =>u= (-2,-1,2).

Evidentemente los vectores u = (-2,-1,2) y v = (-5,3,2) son independientes al no ser proporcionales sus coordenadas.

El plano pedido en forma paramétrica es:

x = 1-2λ-5μ

x = -2-λ+3μ

x = 2+2λ+2μ,

con λ, μ números reales.

La ecuación del plano en forma general es =0= (x-1)(-8) – (y+2)(6) + (z-2)(-11) = -8x-6y-11z+18 = 0.