Integral

1.- Halla una primitiva F de la función f : (0, + ∞) → R definida por f(x) = 4/[x(x+2)]

2.- Calcula ∫³₁ f(x)dx.

3.- Describe qué relación hay entre la primitiva F calculada y la función G : (0, + ∞) → R definida por G(x) = ∫^x₁ f(t)dt.

Solución

1.-

Halla una primitiva F de la función f : (0, + ∞) → R definida por f(x) = 4/[x(x+2)]

F(x) = ∫ ( 4/[x(x+2)] )dx = ∫ ( A/x ) )dx + ∫ ( B/(x+2) )dx = ALn|x| + BLn|x+2| + K

Vamos a calcular las constantes A y B

4 / [x(x+2)] = ( A/x ) + B/(x+2) = [ A(x+2) + B(x)] / [x(x+2)], igualando numeradores

4 = A(x+2) + B(x)

Para x = 0, tenemos 4 = 2A, de donde A = 2

Para x = -2, tenemos 4 = -2B, de donde B = -2, una primitiva pedida es

F(x) = 2Ln|x| - 2Ln|x+2|

2.-

Calcula ∫³₁ f(x)dx = [ 2Ln|x| - 2Ln|x+2| ]³₁ = ( 2Ln(3) - 2Ln(5) ) – ( 2Ln(1) - 2Ln(3) ) =

= 4Ln(2) – 2Ln(5)

3.-

Describe qué relación hay entre la primitiva F calculada y la función

G : (0, +∞) -> R definida por G(x) = ∫^x₁ f(t)dt.

Sabemos que dos primitivas se diferencian en una constante, por tanto:

G(x) = ∫^x₁ f(t)dt = [ F(t) ]^x₁ = F(x) – F(1).